Question

已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）设，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．

Answer

（1）；（2）或；当时，两根和为，当时，两根和为.

【解析】

（1）由函数图象的顶点坐标可知，由图象过，可求得的值，由五点法可求得的值，由此得到了函数的解析式；

（2）在同一坐标系下画出和直线的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数的取值范围和这两个根的和．

【解析】
（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象，可得A＝2，

根据，求得ω＝2．

再根据五点法作图可得2φ，∴φ，f（x）＝2sin（2x）．

（2）如图所示，在同一坐标系中画出y＝2sin（2x）和直线y＝m（m∈R）的图象，

由图可知，当﹣2＜m＜0或m＜2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．

∴m的取值范围为：﹣2＜m＜0或m＜2；

当﹣2＜m＜0时，两根和为； 当m＜2时，两根和为．