Question

设数列的前项和，数列满足，.

（1）求；

（2）求证：数列是等差数列；

（3）求数列的前项和.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）令，由求出的值，再令，由，得，将两式相减得出数列是等比数列，求出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可得出；

（2）由题意得出，等式两边同时除以，利用等差数列的定义可证明出数列为等差数列；

（3）利用（2）中的结论得出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.

（1）当时，，即，解得；

当时，由，得，两式相减得，，

则，因此，数列是以为首项，以为公比的等比数列，；

（2），等式两边同时除以得，即.

所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则；

（3），

，

下式上式，得.