Question

已知不等式.

（1）是否存在实数m，使不等式对任意恒成立？并说明理由.

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

（3）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.

Answer

（1）不存在；（2）；（3）.

【解析】

（1）对分成两种情况，结合一元一次不等式的解法、一元二次不等式恒成立问题求解策略，由此求得的取值范围.（2）构造函数，对分成三种情况，利用二次函数的性质列不等式，通过解不等式求得的取值范围.（3）构造函数，交换主参变量，根据两种情况，结合一元一次函数的性质，求得实数的取值范围.

（1）当时，，不可能恒成立；当时，，即，不存在.

因此，不存在实数，使不等式对任意恒成立.

（2）令.

当时，解得，符合题意.

当时，，不成立；

当时，∵抛物线对称轴，抛物线开口向下，∴只需，与矛盾.

综上所述，.

（3）设.

①当，即时，要使当时，恒成立，有

即得

∴；

②当，即时，经检验满足题意.

由①②可知，所求的的取值范围是.