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如图两个同心球,球心均为点,其中大球与小球的表面积之比为3:1,线段与是夹在两个...

如图两个同心球,球心均为点,其中大球与小球的表面积之比为3:1,线段是夹在两个球体之间的内弦,其中两点在小球上,两点在大球上,两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时,此时异面直线的夹角为,则   

A. B. C. D.

 

A 【解析】 首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为,内切球和外接球的表面积之比为,符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体体积最大时,的位置关系,作出异面直线所成的角,解直角三角形求得. 设正方体的边长为,则其内切球半径为,外接球的半径为,所以内切球和外接球的表面积之比为,符合题意中的小球和大球的比例. 依题意最长为,最长为小球的直径.由于三角形的面积,若为定值,则时面积取得最大值.画出图像如下图所示,其中分别是所在正方形的中心,是正方体内切球与外接球的球心..由于,故此时四面体的体积最大. 由于,所以四边形为平行四边形,所以,所以是异面直线和所成的角.所以由于,设是的中点,则,所以,所以. 故选:A
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A. B. C.8 D.

 

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A. B. C. D.

 

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A. B. C. D.

 

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