Question

如图，是半圆的直径，，为圆周上一点，平面，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析 （2）存在，为线段中点.

【解析】

（1）通过证明证得平面，结合证得平面，由此证得平面平面.

（2）通过计算证明证得，设为线段中点，为线段中点，连接，结合（1）的结论，利用等腰三角形的性质证得平面，证得四边形是平行四边形，由此由此还整得，进而证得平面.

（1）∵平面，∴．

又为圆周上一点且是半圆的直径，∴．

∴平面．

又，

∴平面，且平面，

∴平面平面；

（2）点为线段中点，证明如下：

设，则，，

∴．又，∴．

∴．

取中点，连接．

∴．又由（1）可知平面平面，故平面．

又，，故，即四边形为平行四边形，

∴，∴平面．