Question

如图，三棱锥中，平面，，，点，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)是线段上的点，且平面.

①确定点的位置；

②求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2)①为靠近的的一个三等分点；②.

【解析】

（1）由已知条件可证，即可证明结论；

（2）①连结，交于，则是的重心，根据线面平行的性质定理，可证，结合重心的性质，即可确定点位置；

②作于，有，从而有平面，得到是直线与平面所成的角，解直角，即可得出结论.

(1)，为中点，，

平面，平面，

，平面.

(2)①连结，交于，则是的重心，

且，平面，平面，

平面平面，

，，

即为靠近的的一个三等分点.

②作于，则，平面，

是直线与平面所成的角，

且，，

，

，

，

直线与平面所成角的正弦值是.