Question

已知圆，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点为、.

(1)当的横坐标为时，求的大小；

(2)求四边形面积的最小值；

(3)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

Answer

(1)；(2)；(3)证明见解析，，

【解析】

（1）由已知求出点纵坐标，求出，利用，求出，即可得出结论；

（2），转化求的最小值，求圆心到直线的最小值，即可求解；

（3）设，由，圆就是以为直径的圆，求出其方程，整理为圆系方程，即可求解.

(1)由题可知，圆的半径，，

因为是圆的一条切线，所以，

又因，

又，；

(2)，

要使四边形面积最小，只需最小.

又，只需最小.

当时，有最小值，，

此时四边形面积最小为.

(3)设，因为，

所以经过、、三点的圆以为直径，

方程为：

即

由，解得或

所以圆过定点，.