Question

在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点分别为中点.

（1）求证：平面.

（2）若.

①求二面角的余弦值.

②求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）①，②

【解析】

（1）取中点，连结，可证都与平面平行，从而得面面平行，又得证线面平行；

（2）①证明后，以以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角得二面角，②由以上证明可得与平面垂直，因此棱锥换底求体积，即．

（1）证明：取中点，连结，∵四边形是矩形，点分别为中点.

∴，

平面，平面，

∴平面，同理平面，

∵，∴平面平面，

∵平面，∴平面.

（2）①【解析】
∵

，∴，∴，

∵四边形是矩形，平面平面，

∴以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，

设平面的法向量，则，取，得，

设平面的法向量，则，取，得，

设二面角的平面角为，则.

∴二面角的余弦值为.

②【解析】
∵，∴平面，∴到平面的距离，

，

∴三棱锥的体积：.