Question

己知直线：与抛物线：相交于､两点

（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线上，求抛物线的方程；

（Ⅱ）若以为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）令，解得，求得，即可得到所求抛物线的方程，得到答案；

（Ⅱ）设，由，得，联立直线与抛物线，结合根与系数的关系，求得的值，即可得到抛物线的方程.

（Ⅰ）由题意，抛物线：的焦点在：上，

令，解得，即，所以，即，

所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，即，

设，则

联立方程组，整理得，所以，

又由，则，

代入得：，解得，

故所求抛物线方程为.