Question

已知是椭圆：的右焦点，是坐标原点.过且与轴垂直的直线交椭圆于､两点，若

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）若是以为圆心以为半径的圆上动点，过点且与该圆相切的直线交椭圆于､不同的两点，求面积的最大值

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）令，求得，根据，得出，即可求解实数的值；

（Ⅱ）设，求得直线的方程为，设，直线与椭圆的方程联立，利用根据与系数的关系及弦长公式，结合三角形的面积公式和基本不等式，即可求解.

（Ⅰ）由题意，椭圆：，

令，得，解得，

又由，即，解得.

（Ⅱ）设，可得直线的方程为，其中，

根据圆的对称性，可设，

当时，直线方程代入椭圆方程得，

则，

又由弦长公式，可得

则；

当时，可得，则，

故面积的最大值为.