Question

函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：（1）在[m，n]上是单调函数；（2）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（    ）个.

①②③

A.0 B.1 C.2 D.3

Answer

C

【解析】

①②两个函数都是单调递增函数，假设存在“倍值区间”，转化为判断在定义域内是否有两个不等实根；③在单调递减，在单调递增，分两个区间讨论是否存在“倍值区间”.

①是增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，

则 ，即 有两个实数根，分别是， ，即存在“倍值区间”，故①存在；

②是单调递增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，

则，即，存在两个不同的实数根，分别是， ，即存在“倍值区间”，故②存在；

③ ，在单调递减，在单调递增，

若在区间单调递减，则 ，解得，不成立，

若在区间 单调递增，则，即有两个不同的大于1的正根，

解得：不成立，故③不存在.

存在“倍值区间”的函数是①②.

故选：C.