Question

设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点

（1）证明：直线，的斜率之和为定值；

（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

(1)证明见解析 (2) 轴上存在定点使为定值，该定值为1

【解析】

（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y＝k（x﹣4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得证；

（2）设M（x3，0），N（x4，0），由y﹣1＝k1（x﹣2），令y＝0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．

（1）设，直线的斜率分别为，由得

，可得：，

（2）由，令，得，即

同理，即，设轴上存在定点则

，要使为定值，即

故轴上存在定点使为定值，该定值为1