Question

设函数，，，.

（1）证明：；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

(1)证明见解析 (2)

【解析】

（1）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；

（2）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min＝g（），当m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．

（1）在上单调递增，，

所以存在唯一，.当，递减；

当，递增.

所以，

（2），

当时，，在上单调递减，

，满足题意

当时，在上单调递增，

，，

所以存在唯一，.

当，递减；当，递增

而，.所以存在唯一.

当，递增；当递减.

要时，恒成立，即所以

当时，，当，递减，

在递增，与题意矛盾

综上：的取值范围为