Question

设函数（，且）是定义域为R的奇函数.

（1）求t的值；

（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；

（3）若函数的图象过点，是否存在正数m（），使函数在上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），（2），（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）结合函数奇偶性，利用可求；

（2）根据可得，结合奇偶性和单调性把所求解的不等式转化为二次不等式，然后进行求解；

（3）根据函数图象过点可得，利用换元法进行求解.

（1）是定义域为R的奇函数，

，

；经检验知符合题意.

（2）由（1）得，

得，又

，

由得，

为奇函数，

，

，为R上的增函数，

对一切恒成立，即对一切恒成立，

故解得.

（3）函数的图象过点，

，假设存在正数m，且符合题意，

由得

，

设则，

，

，记，

∵函数在上的最大值为0，

∴（i）若时，则函数在有最小值为1，

由于对称轴，

，不合题意.

（ii）若时，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，

①，

而此时，又，

故在无意义，

所以应舍去;

②m无解，

综上所述：故不存在正数m，使函数在上的最大值为0.