Question

如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．

（1）若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由

（2）已知函数，其中且，，．

（ⅰ）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；

（ⅱ）证明：当，时，函数不存在等域区间．

Answer

（1）；见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）见解析

【解析】

（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数的等域区间；

（2）（ⅰ）当时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；

（ⅱ）由题意，根据，，判断函数为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间.

【解析】
（1）函数存在等域区间，如；

（2）已知函数，其中且，，D

（ⅰ）当时，

若函数是上的等域函数，

当时，为增函数，

则得，此时．

当时，为减函数，

则，得，不满足条件．

即．

（ⅱ）证明：当，时，，即，

则为减函数，

假设函数存在等域区间，

则，

两式作差，

即，

，，，，，

则，

等式不成立，即函数不存在等域区间．