已知椭圆经过点，且离心率为．（1）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好...

已知椭圆经过点，且离心率为．

（1）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求该直线的方程；

（2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围．

（1）（2）【解析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程，结合点差法解决中点弦问题，求出直线斜率，求解直线方程；（2）设直线的方程，联立直线和椭圆，根据交点坐标关系，求出线段的垂直平分线方程，得出的表达式，利用函数关系求解取值范围. （1）由题意，得，解得所以椭圆的标准方程是．设点，，则两式相减得，又，，代入得，即，故所求直线的方程是，即．（2）（i）当直线与轴垂直时，，符合题意．（ii）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，．联立方程消去，可得，易知．设，，线段的中点为，则，，所以，所以线段的中点的坐标为．由题意可知，，，故直线的方程为．令，得，即．当时，得，当且仅当时等号成立；当时，得，当且仅当时等号成立．综上所述，实数的取值范围为．

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考点分析：

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