Question

设椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

Answer

A

【解析】

设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知且，可得四边形AFBF′为矩形，设|AF′|＝n，|AF|＝m，根据椭圆的定义以及题意可知mn＝2b2 ，从而可求得的范围，进而可求得离心率.

设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，

又，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.

设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在Rt△F′AF中，

m＋n＝2a ①，m2＋n2＝4c2 ②，

联立①②得mn＝2b2 ③.

②÷③得，令＝t，得t＋.

又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋∈.

故椭圆C的离心率的取值范围是.

故选：A