Question

如图所示,已知点是抛物线上一定点,直线的倾斜角互补,且与抛物线另交于，两个不同的点．

(1)求点到其准线的距离；

(2)求证：直线的斜率为定值．

Answer

(1)5；(2)

【解析】

（1）把点M的坐标代入抛物线的方程，求出点M的坐标，然后根据抛物线的定义求出点到其准线的距离；

（2）设出直线MA的方程，与抛物线方程联立，得出A 的纵坐标，同理得出B的纵坐标，由已知条件结合点差法推导出AB的斜率表达式，把A，B的坐标代入，由此能证明直线AB的斜率为定值．

（1）∵M（a，4）是抛物线y2＝4x上一定点，∴42＝4a，a＝4，

∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，故点M到其准线的距离为5；

（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为：y﹣4＝k（x﹣4）；

联立，设，，

，即，

∵直线的斜率互为相反数，∴直线MB的方程为：，

同理可得：，由A，B两点都在抛物线y2＝4x上，∴ ，，

，

∴直线AB的斜率为定值.