Question

如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）分别取的中点，由线面垂直性质定理可得，又三角形和全等，所以，四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即得证；

（2）以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的正弦值．

（1）如图所示：

分别取，的中点，，连结，，，

则，，

平面与平面都与平面垂直，

平面，平面，

由线面垂直的性质定理得，

，四边形是平行四边形，，

平面，平面．

（2）如图，以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量，

设平面的法向量，

则，取，得．

设二面角的平面角为，由图知为钝角，

．

∴二面角的余弦值为，则正弦值为．