Question

如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，且满足？若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.

Answer

（1）见解析（2）在线段上存在点满足题意，．

【解析】

（1）如图所示的等腰梯形中，经过点，分别作，，垂足为．利用矩形的性质可求出，在中，利用余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，再利用面面垂直的性质定理即可证明平面；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设，设平面的法向量，可得，取平面的法向量，利用，，即可求出．

（1）如图所示的等腰梯形中，经过点，分别作，，垂足为，则为矩形，．在中，，则，

同理可得，．

在中，，

，，．

又∵四边形为矩形，平面平面，

平面平面，∴平面．

（2）如图所示，建立空间直角坐标系．

，，，设，

，

设平面的法向量，

则，∴

取．

取平面的法向量．

由，

由题意可得：，．

解得．

因此在线段上点，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，且满足，．