Question

已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点.

（1）若垂直于轴时，求；

（2）当时，在轴上方时，求，的坐标；

（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2），（3）存在直线或

【解析】

（1）由椭圆方程可求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，即可求出；

（2）设，由，利用数量积为0可得与的方程，再由在椭圆上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标，从而得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求得的坐标；

（3）设，，直线：（斜率为零时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合，得，再由直线的方程：，得纵坐标，由直线的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得，解得值，从而得到直线方程．

（1）依题意，，当轴时，则，，得；

（2）设，∵，

∴，

又在椭圆上，满足，即，

∴，解得，即．

直线，

联立，解得；

（3）设，，

直线：（斜率为零时不满足题意），

则，．

联立，得．

则，．

由直线的方程：，得纵坐标；

由直线的方程：，得的纵坐标．

若，即，

，

，即，

∴，解得．

∴存在直线或满足题意．