Question

近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.

（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；

（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.

Answer

（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.

【解析】

（1）因为，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为，由扇形的面积公式可得答案；

（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.

（1），则，，

在扇形中，的长为，

所以，

同理，.

∵与无重叠，∴，即，则.

又三个扇形都在三角形内部，则，∴.

（2）∵，

∴

，

∴当时，取得最大值，为.

故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.