Question

已知数列的前项和（为正整数）.

（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）令，试比较与3的大小，并予以证明.

Answer

（1）证明见解析，；（2），证明见解析.

【解析】

（1）令，求出的值，再令，由可得出，利用等差数列的定义可证明出数列为等差数列，并确定数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，进而解出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出，即可得出与的大小关系.

（1）在中，令，可得，即.

当时，由可得，

两式相减得，

，即.

，，即当时，.

又，数列是首项和公差均为的等差数列.

于是，.

（2）由（1）得，

所以①，

②，

由①②得

，

，因此，.