Question

如图，把等腰直角三角形沿斜边所在直线旋转至的位置，使.

(1)求证:平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析(2)

【解析】

（1）取的中点，连接，可得得，根据三角形中的几何关系，得到，从而得到，所以得到平面，再得到平面平面；（2）取的中点，连接，，再在直角三角形中，得到，从而得到二面角的余弦值.

（1）如图，取的中点，连接，

是等腰直角三角形， ，且.

连接，同理得，且，

，.

，，

为等腰直角三角形，，

又，平面，

平面.

又平面，

∴平面平面.

（2）取的中点，连接.

易知为等边三角形， .

又为等腰直角三角形，.

为二面角的平面角.

由（1）知，，

且平面，，

所以平面，平面，

.

为直角三角形.

设，则，

所以，

则，

，

即二面角的余弦值为.