Question

如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱长上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

（1）证明：为正四面体；

（2）若，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.

（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥的体积减去棱锥的体积.）

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，证明见解析.（注：所构造直平行六面体不唯一，只需题目满足要求即可）

【解析】

（1）根据棱长和相等可知，根据面面平行关系和棱锥为正三棱锥可证得，进而证得各棱长均相等，由此得到结论；（2）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和线面垂直判定定理可证得平面，由线面垂直性质可知，从而得到即为所求二面角的平面角；易知，从而得到，在中根据长度关系可求得，从而得到结果；（3）设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为，根据正四面体体积为，可验证出；又所构造六面体体积为，知，只需满足即可满足要求，从而得到结果.

（1）棱台与棱锥的棱长和相等

平面平面，三棱锥为正三棱锥

为正四面体

（2）取的中点，连接

， ，

平面， 平面

平面

为二面角的平面角

由（1）知，各棱长均为

为中点

即二面角的大小为：

（3）存在满足题意的直平行六面体，理由如下：

棱台的棱长和为定值，体积为

设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为

则该六面体棱长和为，体积为

正四面体体积为：

时，满足要求

故可构造棱长均为，底面相邻两边夹角为的直平行六面体即可满足要求