Question

如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可．

如图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，

∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，

∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；

∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，

∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，

又A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，

则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，，

同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝，∴△A1MN为等腰三角形，

当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，

，A1M＝A1N＝，

所以线段A1P长度的取值范围是 ．

故选B．