Question

如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）首先根据等腰三角形易得，接着根据得到，最后由线面垂直判定定理得结果；（2）根据等腰三角形易得，由（1）可得，进而可得结果.

证明：（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.

在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，所以，所以

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.