Question

如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．

(1)求证：AN⊥平面PBM；

(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）由平面得，结合得出平面P，于是，又，根据线面垂直判定定理得结果；（2）由（1）易得，又得出平面，进而可得结果．

证明 (1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM，

又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，

∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，

∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ.

∴PB⊥NQ.