Question

如图，直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA₁＝，D 是A₁B₁的中点．

（1）求证：C₁D⊥平面AA₁B₁B；

（2）当点F 在BB₁上的什么位置时，AB₁⊥平面C₁DF ？并证明你的结论．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由是直三棱柱，D是A1B1的中点和题设条件，得C1D⊥A1B1和AA1⊥C1D，利用线面垂直的判定定理，即可证明；

（2）作交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即所求．

（1）∵是直三棱柱，

∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．

又D是A1B1的中点，

∴C1D⊥A1B1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，

∴AA1⊥C1D，

∴C1D⊥平面．

（2）作交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即所求．

事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，

∴C1D⊥AB1．

又AB1⊥DF，，

∴AB1⊥平面C1DF．

∵AA1=A1B1=，

∴四边形AA1B1B为正方形．

又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，

∴F为BB1的中点，

∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF．