Question

如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.

（1）证明：平面；

（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见证明（2）

【解析】

解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；

（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.

解法2：（1）取中点，连接、，易证平面，再证明,可得平面

（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.

解法3：（1）同解法2

（2）设，利用三棱锥等体积转化，得到到面的距离，利用与平面所成的角为得到与的关系，解出，在两个平面分别找出垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.

解法1：

（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．

设，，则，，， ，，，，，．

因为，，

所以，，面，面，

于是平面．

（2）设平面的法向量，

则，，

又，，

故，取，得．

因为与平面所成的角为，，

所以， ，

解得，．

由（1）知平面的法向量，

，

所以二面角的余弦值为．

解法2：

（1）取中点，连接、,

，

平面，平面

，

而平面,平面,

平面．

为中点， ，，

，，

四边形为平行四边形，

．

平面．

（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．

设，，，则，，．

设平面的法向量，

则，，

又，，

故，

取，得．

因为与平面所成的角为，，

所以， ，

解得，．

由（1）知平面的法向量，

所以二面角的余弦值为．

解法3：

（1）同解法2．

（2）设，，则，,，

，，

到平面距离，设到面距离为，

由

得，即

．

因为与平面所成的角为，

所以，

而在直角三角形中，

所以，

解得．

因为平面，平面,所以，

平面，平面所以，所以平面，

平面,平面

所以为二面角的平面角，

而,可得四边形是正方形，所以，

所以二面角的余弦值为．