Question

（2018海南高三阶段性测试（二模））如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点．

（I）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由．

（II）若点为的中点且，求二面角的正弦值．

Answer

（I）见解析（II）

【解析】

试题

（1）存在点，且为的中点．连接，，由三角形中位线的性质可得，结合线面平行的判定定理可得平面．

（2）由题意结合勾股定理可求得．以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的正弦值为．

试题解析：

（1）存在点，且为的中点．证明如下：

如图，连接，，点，分别为，的中点，

所以为的一条中位线，，

又平面，平面，所以平面．

（2）设，则， ，

，

由，得，解得．

由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，

故，，，．

设为平面的一个法向量，则

得

令，得平面的一个法向量，

同理可得平面的一个法向量为，

故二面角的余弦值为 ．

故二面角的正弦值为．