Question

如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.

（1）若，求三棱柱的体积；

（2）证明：平面；

（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.

Answer

（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.

【解析】

（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；

（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；

（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.

（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，

且，，，

∴由三棱柱体积公式得：；

（2）证明：取的中点，连接，，

∵，分别为和的中点，

∴，，

∵平面，平面，

∴平面，平面，

又，

∴平面平面，

∵平面，∴平面；

（3）连接，设，

则由题意知，，

∵三棱柱的侧棱垂直于底面，

∴平面平面，

∵，∴，又点是的中点，

∴平面，∴，

要使平面，只需即可，

又∵，∴，

∴，即，

∴，则时，平面.