Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n∈N^*）

（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n；

（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；

（Ⅲ）对任意n∈N^*，使得 恒成立，求实数λ的最小值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)

【解析】

（Ⅰ）要证明数列{nan}是等比数列，应先求其通项公式，然后用等比数列定义证明即可．由等比数列通向公式可求得数列{nan}的通项公式，进而可求数列{an}的通项an；（Ⅱ）要求数列{n2an}的前n项和Tn，应根据（Ⅰ）的结果求其通项公式，由通项公式的特点可用错位相减法求数列从第二项到第n项的和，再加第一项可得结果；（Ⅲ） 根据（Ⅰ）的结果，不等式可变为，利用基本不等式，可求得不等式右边的最大值为．可求实数λ的最小值为．

（Ⅰ）[证明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2），

①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{nan}是等比数列，

又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=，得a2=1，则2a2=2，∴，

∴（n≥2），∴；

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知，

∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，则，

两式作差得：，得：；

（Ⅲ）【解析】
由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，

即对任意n∈N*恒成立．

当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．