Question

已知正项数列的前项和为是与的等比中项.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，数列的前项和为，求.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题已知数列的递推关系中含有前n项和与第n项的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，第二步，常用前n项和减去前n-1项和（两式相减）去处理，化为与的关系后，再求通项公式 ；错位相减法是数列求和的常用方法，使用错位相减法求和时，要注意末项的符号及等比数列求和的项数，避免失误.

试题解析：

（1）证明：由是与的等比中项，

得 .

当时，.

当时，，

，

即.

，即.

数列是等差数列.

（2）数列首项，公差，

通项公式为.

则，则.①

两边同时乘以，得②

①-②，得

.

解得.