Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

Answer

（1）见证明；（2）45°（3）

【解析】

(1)由线面垂直的性质可得，结合，可得平面，由等腰三角形的性质可得，从而可得结果；(2) 先证明平面，可得为和平面所成的角，判断是等腰直角三角形，从而可得结果；（3）过点作，垂足为，连接，由(1)知，平面，则在平面内的射影是，则可证得，则是二面角的平面角，设，可求得，由直角三角形的性质可得结果.

(1)因为PA⊥底面ABCD

CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.

因为CD⊥AC，PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.

又PC∩CD＝C，

所以AE⊥平面PCD.

(2)因为PA⊥底面ABCD，

AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.

又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

所以AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，

故∠APB＝45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.

(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．

由(1)知，AE⊥平面PCD，则AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.

因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角．由已知可得∠CAD＝30°.

设AC＝a，

可得PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.

在Rt△ADP中，

因为AM⊥PD，

所以AM·PD＝PA·AD，

则AM＝＝a.

在Rt△AEM中，

sin∠AME＝＝.

所以二面角A－PD－C的正弦值为.