Question

学习了余弦定理后，老师布置了一个课外任务，让同学们自己制作一些直角三角形、锐角三角形或钝角三角形的模型，现在李明和王强同学已经有了两根长度分别为和的铁丝.

（1）如果他们希望能够制作一个直角三角形，那么他们需要的第三根铁丝的长度应该是多少？

（2）如果他们希望能够制作一个钝角三角形，那么他们需要的第三根铁丝的长度应该在什么范围？制作一个锐角三角形呢？

Answer

（1）或；（2）见解析.

【解析】

（1）分两种情况讨论，斜边为长度为的铁丝或第三根铁丝，利用勾股定理即可求出结果；

（2）若三角形为钝角三角形，分两种情况讨论，最长边为长度为的铁丝或第三根铁丝，利用最大角的余弦值为负数，结合余弦定理以及三角形三边关系可求得结果，同理可得出当三角形为锐角三角形时第三边长度的取值范围.

（1）制作一个直角三角形，设第三根铁丝的长度为.

①若长度为的铁丝为斜边，则；

②第三根铁丝为斜边，则.

综上所述，所求第三边的长度为或；

（2）制作一个钝角三角形，设第三根铁丝的长度为，设钝角三角形的最大角为.

①若最长边为的铁丝，则，解得，

又，，即；

②若最长边为的铁丝，则，解得，

由，此时.

综上所述，当三角形为钝角三角形时，第三边的取值范围是.

同理可知，制作一个锐角三角形时，第三边的取值范围是.