Question

如图，已知圆O：和点，由圆O外一点P向圆O引切线，Q为切点，且有 .

（1）求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?

（2）求的最小值；

（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.

Answer

（1），轨迹是斜率为，在y轴上的截距为的直线，（2）（3）

【解析】

(1)设点P,根据,列式化简即可得解;

(2)由可知,的最小值即为点A到直线的距离;

(3)结合圆的性质可知,与直线垂直,且圆与圆相切时,半径最小,据此求解即可.

(1)设点P的坐标为,

,,

由题意有,整理为:,

故点P的轨迹方程为,

点P的轨迹是斜率为,在y轴上的截距为的直线;

(2)由和(1)可知,

的最小值即为点A到直线的距离,

故其最小值为;

(3)由圆的性质可知,当直线与直线垂直时,

以此时的点P为圆心,且与圆O相外切的圆即为所求,

此时的方程为,

联立方程,解得,即,

又点O到直线的距离为,可得所求圆的半径为,

故所求圆的标准方程为.