Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，证明：对任意的．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．

（2）将不等式进行转化，构造函数g（x）=-x+，则不等式转化为最值问题进行求解即可．

【解析】
（1）

①当1＞1-m，即m＞0时，（-∞，1-m）和（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调减；（1-m，1）上f′（x）＞0，f（x）单调增

②当1=1-m，即m=0时，（-∞，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调减

③当1＜1-m，即m＜0时，（-∞，1）和（1-m，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调减；（1，1-m）上f′（x）＞0，f（x）单调增

（2）对任意的x1，x2∈[1，1-m]，4f（x1）+x2＜5可转化为，

设g（x）=-x+，则问题等价于x1，x2∈[1，1-m]，f（x）max＜g（x）min

由（1）知，当m∈（-1，0）时，f（x）在[1，1-m]上单调递增，，

g（x）在[1，1-m]上单调递减，，

即证，化简得4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]

令1-m=t，t∈（1，2）

设h（t）=et（5-t）-4（t+1），t∈（1，2），

h′（t）=et（4-t）-4＞2et-4＞0，故h（t）在（1，2）上单调递增．

∴h（t）＞h（1）=4e-8＞0，即4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]

故，得证．