Question

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，M₁分别是棱AD和A₁D₁的中点．

（1）求证：四边形BB₁M₁M为平行四边形；

（2）求证：∠BMC＝∠B₁M₁C₁．

Answer

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析．

【解析】

（1）利用正方体的性质，根据平行四边形的定义与性质证明即可；（2）根据正方体的性质以及平行四边形的性质可证明，从而可得结果.

（1）在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1D1的中点，

∴MM1∥AA1，MM1=AA1．

又∵AA1∥BB1，AA1=BB1，

∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

（2）法一：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM．

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1．

法二：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1＝BM．

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1＝CM．

又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1．

∴∠BMC＝∠B1M1C1．