Question

为椭圆上异于顶点的任意一点，过作直线、分别与圆相切于、两点，则直线与两坐标轴围成的三角形面积最小值为___________.

Answer

【解析】

设为椭圆上的点，则，由基本不等式可得，再求出以OP为直径的圆的方程，和已知圆的方程作差求出两圆公共弦的方程，求出直线与坐标轴的交点，结合三角形面积公式即可得结果.

设为椭圆上的点，则，

∴，

即，当且仅当时等号成立，

以OP为直径的圆的方程为，

整理得：①

又圆②

②-①得，直线的方程为，

取，得；取，得，

∴直线与两坐标轴围成的三角形面积，

即三角形面积的最小值为，

故答案为：.