Question

如图，在多面体中，四边形为矩形，，均为等边三角形，，.

（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）为的中点，证明见解析；（2）

【解析】

（1）连结AC交BD于M，连结MN，证明，根据线面平行判定定理即可得证；

（2）过F作平面ABCD，垂足为O，过O作x轴，作y轴于P，则P为BC的中点，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，利用空间向量的数量积求解直线BN与平面ABF所成角的正弦值即可.

（1）当N为CF的中点时，平面，

证明：连结AC交BD于M，连结MN．

∵四边形ABCD是矩形，

∴M是AC的中点，

∵N是CF的中点，∴，

又平面BDN，平面BDN，

∴平面.

（2）过F作平面ABCD，垂足为O，过O作x轴，作y轴于P，则P为BC的中点，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，

∵，∴，∴，

∴，，，，．

∴，，，

设平面ABF的法向量为，

则，∴，

令，得，

∴，

∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为.