Question

已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.

【解析】

试题（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当时，导函数不变号，故的单调递增区间为.当时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为,单调递减区间减区间为，（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为

又，所以

试题解析：（1），当时，由解得,即当时，单调递增， 由解得,即当时，单调递减,当时，,即在上单调递增,当时，故，即在上单调递增,所以当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.

（2）,则,所以的两根即为方程的两根. 因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,

所以

令,由得

因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.