Question

已知点P在直线l:y=x-1上,若存在过点P的直线交抛物线于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“正点”,那么下列结论中正确的是(    )

A.直线l上的所有点都是“正点”

B.直线l上仅有有限个点是“正点”

C.直线l上的所有点都不是“正点”

D.直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“正点”

Answer

A

【解析】

根据题意，设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合.

如下图：

根据题意，设A(m,n),P(x0,x0-1), 已知|PA|=|AB| ，则B(2m-x0,2n-x0+1),

∵点A,B在y=x2上,∴.

∴消去n,整理得关于x0的方程为

∵△=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+5>0恒成立,即方程恒有实数解,故选A.