Question

如图的空间几何体中，四边形为边长为2的正方形，平面，，，且，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）分别取的中点，，连接，，，首先证明出四边形为平行四边形得到，接着通过证明面来得到面，通过面面垂直判定定理即可得结果；

（2）如图所示：取中点，记，连接，，利用线面平行性质定理证出两面的交线与平行，然后再证出，可得为平面与平面ABCD所成二面角的平面角，在中即可求得答案.

（1）如图所示：

分别取的中点，，连接，，，

∵，，，，

∴，且，,

∴四边形为平行四边形，∴，

由于，为的中点，四边形为边长为2的正方形

∴，

又∵平面，∴,

又∵，∴面，

∴面，

∴平面平面.

（2）如图所示：取中点，记，连接，，

由（1）知，，∴面ABCD，

记面面，则

易得，即，

又∵平面，∴，

又∵，，

∴面，∴，即为直角三角形，

同理为直角三角形，

由于，，

由，则，∴，

∴，即，

∴则为平面与平面ABCD所成二面角的平面角，

由四边形为边长为2的正方形得，

∴，∴，

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.