Question

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

Answer

(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

试题（1）设拋物线的方程为，利用点到直线的距离,求出,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线的方程；（3）由拋物线定义可知，联立直线与抛物线方程,消去,得到一个关于的一元二次方程,由韦达定理求得的值,还有,将表示成的二次函数的形式,再求出最值.

试题解析: 【解析】
（1）依题意，设拋物线的方程为，由结合，

解得，所以拋物线的方程为.

（2）拋物线的方程为，即，求导得，

设(其中)则切线的斜率分别为，

所以切线的方程为，即，即，

同理可得切线的方程为，

因为切线均过点，所以，，

所以为方程的两组解，

所以直线的方程为.

（3）由拋物线定义可知，

联立方程，消去整理得.

由一元二次方程根与系数的关系可得，

所以

又点在直线上，所以，

所以，

所以当时，取得最小值,且取得最小值为.