Question

如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示.

（1）证明：平面；

（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）存在；点位于点处，此时；或中点处，此时

【解析】

(1)利用俯视图和勾股定理逆定理可得,再推出,即可推出结论.

(2)假设存在满足条件的点,建立空间直角坐标系,设(),依据题设条件列出等式求解,有解则存在,无解则不存在.

(1)证明:由俯视图可得,,

所以,

又因为平面,

所以,

又,

所以平面;

(2)线段上存在点,使与所成角的余弦值为.

证明如下:

因为平面,,

所以､､两两垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系.

所以,,,,.

设,其中.

所以,.

要使与所成角的余弦值为,则有,

所以,解得或2,均适合.

故点位于点处,此时;或中点处,此时,

有与所成角的余弦值为.