Question

已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为；_______________；

（Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；

（Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

Answer

（Ⅰ）选①或②或③，；（Ⅱ）当或时，线段的长取到最大值.

【解析】

（Ⅰ）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出.

选①，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；

选②，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；

选③，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；

（Ⅱ）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值.

（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.

若选①，则函数的一条对称轴，则，

得，，当时，，

此时，；

若选②，则函数的一个对称中心，则，

得，，当时，，

此时，；

若选③，则函数的图象过点，则，

得，，，

，解得，此时，.

综上所述，；

（Ⅱ）令，，

，，当或时，即当或时，

线段的长取到最大值.