Question

在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.

（Ⅰ）试用、表示和；

（Ⅱ）若，求的最小值.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；

（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.

（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，

由于为等腰梯形，则，且，

，即，又，所以，四边形为平行四边形，

则，所以，为等边三角形，且，

，，

，

；

（Ⅱ），，，

由题意可知，，由得出，

所以，，

，

令，则函数在区间上单调递减，

所以，，因此，的最小值为.