Question

已知函数.

（Ⅰ）对任意的实数，恒有成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数取最小值时，讨论函数在时的零点个数.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由可知，区间是不等式解集的子集，由此可得出实数的不等式，解出即可；

（Ⅱ）由题意可知，，则，令，可得出，令，对实数的取值范围进行分类讨论，先讨论方程的根的个数及根的范围，进而得出方程的根个数，由此可得出结论.

（Ⅰ），，

对任意的实数，恒有成立，

则区间是不等式解集的子集，，解得，

因此，实数的取值范围是；

（Ⅱ），由题意可知，，，

令，得，令，

则，作出函数和函数在时的图象如下图所示：

作出函数在时的图象如下图所示：

①当或时，即当或时，方程无实根，

此时，函数无零点；

②当时，即当时，方程的根为，

而方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；

③当时，即当时，方程有两根、，

且，，

方程在区间上有两个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有四个零点；

④当时，即当时，方程有两根分别为、，

方程在区间上只有一个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有三个零点；

⑤当时，即当时，方程只有一个实根，且，

方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；

⑥当时，即当时，方程只有一个实根，

方程在区间上只有一个实根，此时，函数只有一个零点.

综上所述，当或时，函数无零点；

当时，函数只有一个零点；

当或时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点；

当时，函数有四个零点.