Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB的中点．

（1）求异面直线AD₁与EC所成角的大小；

（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D₁CDE是否为鳖臑？并说明理由．

Answer

(1) (2)见解析

【解析】

（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；

（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．

【解析】
（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，

∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，

得

∴△AD1F为等边三角形，则．

∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；

（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，

又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．

∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．

∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，

故四面体D1CDE是鳖臑．